Пост для Ner-Tamin
Что такое Фракталы и зачем.




Кто заинтересовался что на картинке - милости просим))
Для начала постараюсь рассказать что же такое фрактал.
У этого понятия нет строгого определения. Поэтому слово "фрактал" не является математическим термином. Обычно так называют геометрическую фигуру, которая удовлетворяет одному или нескольким из следующих свойств:
1. обладает сложной структурой при любом увеличении;
2. является (приближенно) самоподобной;
3. обладает дробной хаусдорфовой (фрактальной) размерностью, которая больше топологической;
4. может быть построена рекурсивными процедурами.

Фрактал — это бесконечно самоподобная геометрическая фигура, каждый фрагмент которой повторяется при уменьшении масштаба.
Не уверенна, что вышло понятно, но надеюсь с картинками будет проще...


Фракталы известны уже почти век, хорошо изучены и имеют многочисленные приложения в жизни. Однако в основе этого явления лежит очень простая идея: бесконечное по красоте и разнообразию множе-ство фигур можно получить из относительно простых конструкций при помощи всего двух операций – копирования и масштабирования

Что общего у дерева, берега моря, облака или кровеносных сосудов у нас в руке? На первый взгляд может показаться, что все эти объекты ничто не объединяет. Однако на самом деле существует одно свойство структуры, присущее всем перечисленным предметам: они самоподобны. От ветки, как и от ствола дерева, отходят отростки поменьше, от них – еще меньшие, итд, то есть ветка подобна всему дереву. Подобным же образом устроена и кровеносная система: от артерий отходят артериолы, а от них – мельчайшие капилляры, по которым кислород поступает в органы и ткани. Посмотрим на космические снимки морского побережья: заливы и полуострова; взглянем на него же, но с высоты птичьего полета: нам будут видны бухты и мысы; теперь представим себе, что мы стоим на пляже и смотрим себе под ноги: всегда найдутся камешки, которые дальше выдаются в воду, чем остальные. То есть береговая линия при увеличении масштаба остается похожей на саму себя. Это свойство объектов американский (правда, выросший во Франции) математик Бенуа Мандельброт назвал фрактальностью, а сами такие объекты – фракталами (от латинского fractus – изломанный).

Изучение фракталов на рубеже XIX и XX веков носило скорее эпизодический, нежели систематический характер, потому что раньше математики в основном изучали "хорошие" объекты, которые поддавались исследованию при помощи общих методов и теорий. В 1872 году немецкий математик Карл Вейерштрасс строит пример непрерывной функции, которая нигде не дифференцируема. Однако его построение было целиком абстрактно и трудно для восприятия. Поэтому в 1904 году швед Хельге фон Кох придумал непрерывную кривую, которая нигде не имеет касательной, причем ее довольно просто нарисовать. Оказалось, что она обладает свойствами фрактала. Один из вариантов этой кривой носит название "снежинка Коха".

Теперь немножко про фрактальные размерности. Размерность (число измерений) геометрической фигуры – это число координат, необходимых для определения положения лежащей на этой фигуре точки. Например, положение точки на кривой определяется одной координатой, на поверхности (не обязательно плоскости) – двумя координатами, в трехмерном пространстве – тремя координатами.
С более общей математической точки зрения можно определить размерность таким образом: увеличение линейных размеров, скажем, в два раза для одномерных (с топологической точки зрения) объектов (отрезок) приводит к увеличению размера (длины) в два раза, для двухмерных (квадрат) такое же увеличение линейных размеров приводит к увеличению размера (площади) в четыре раза, для трехмерных (куб) – в восемь раз. "Реальную" (т.н. Хаусдорфову) размерность можно подсчитать в виде отношения логарифма увеличения "размера" объекта к логарифму увеличения его линейного размера. То есть для отрезка D=log(2)/log(2)=1, для плоскости D=log(4)/log(2)=2, для объема D=log(8)/log(2)=3. Подсчитаем теперь размерность кривой Коха, для построения которой единичный отрезок делят на три равные части и заменяют средний интервал равносторонним треугольником без этого сегмента. При увеличении линейных размеров минимального отрезка в три раза длина кривой Коха возрастает в log(4)/log(3)~1,26. То есть размерность кривой Коха – дробная!
Выглядит это так:

схема получения кривой Коха

одна из разновидностей этой кривой, снежинка Коха.

Варьируя основу и фрагмент, можно получить потрясающее разнообразие конструктивных фракталов Более того, подобные операции можно производить и в трехмерном пространстве. Примерами объемных фракталов могут служить "губка Менгера" , "треугольник Серпинского" итд.

К конструктивным фракталам относят и семейство драконов. Иногда их называют по имени первооткрывателей драконами Хейвея–Хартера (своей формой они напоминают китайских драконов). Существует несколько способов построения этой кривой. Вот самый простой и наглядный: нужно взять достаточно длинную полоску бумаги (чем тоньше бумага, тем лучше) и согнуть ее пополам. Затем снова согнуть ее вдвое в том же направлении, что и в первый раз. После нескольких повторений (обычно через пять-шесть складываний полоска становится слишком толстой, чтобы ее можно было аккуратно гнуть дальше) нужно разогнуть полоску обратно, причем стараться, чтобы в местах сгибов образовались углы в 90°. Тогда в профиль получится кривая дракона. Разумеется, это будет лишь приближение, как и все наши попытки изобразить фрактальные объекты. Компьютер позволяет произвести гораздо больше шагов этого процесса, и в результате получается очень красивая фигура.

Кривая Дракона

Еще один тип динамических фракталов составляют фракталы (так называемые бассейны) Ньютона. Формулы для их по-строения основаны на методе решения нелинейных уравнений, который был придуман великим математиком еще в XVII веке. Применяя общую формулу метода Ньютона zn+1 = zn – f(zn)/f’(zn), n=0, 1, 2… для решения уравнения f(x)=0 к многочлену zk–a, получим по-следовательность точек: zn+1 = (k–1)znk/kznk–1, n=0, 1, 2… Выбирая в качестве начальных приближений различные комплексные числа z0, будем получать последовательности, которые сходятся к корням этого многочлена. Поскольку корней у него ровно k, то вся плоскость разбивается на k частей – областей притяжения корней. Границы этих частей имеют фрактальную структуру. (Заметим в скобках, что если в последней формуле подставить k=2, а в качестве начального приближения взять z0=a, то получится формула, которую реально используют для вычисления корня квадратного из a в компьютерах.)


А на этой картинке фрактал, изображающий множество Мандельброта – то есть множество точек c на комплексной плоскости, для которых последовательность zn, определяемая итерациями z0=0, z1=z02+с, … zn+1=zn2+c, конечна (то есть не уходит в бесконечность).

Визуально множество Мандельброта выглядит как набор бесконечного количества различных фигур, самая большая из которых называется кардиоидой (она похожа на стилизованное изображение сердца и получила свое название от двух греческих слов – "сердце" и "вид").

Кардиоида окружена все уменьшающимися кругами, каждый из которых окружен еще меньшими кругами, и т.д. до бесконечности. При любом увеличении этого фрактала будут выявляться все более и более мелкие детали изображения, дополнительные ветки с более мелкими кардиоидами, кругами. И этот процесс можно продолжать бесконечно.

Собственно клипы которые мы с  Ner-Tamin видели это и есть запись работы программы, создающей визуализацию множеств Жулиа и Мандельброта при различных начальных условиях.

Однако группа математиков-гиков решила пойти дальше - добавить фракталу третье измерение:



Конечно, не все результаты были настолько красивы. Моделирование фракталов требует не только знания математики, но и наличия интуиции при подборе начальных параметров. Впрочем, предлагаю оставить детали специалистам и просто полюбоваться на результаты:





В наши дни теория фракталов находит широкое применение в различных областях человеческой деятельности. Помимо чисто научного объекта для исследований и уже упоминавшейся фрактальной живописи, фракталы используются в теории информации для сжатия графических данных (здесь в основном применяется свойство самоподобия фракталов – ведь чтобы запомнить небольшой фрагмент рисунка и преобразования, с помощью которых можно получить остальные части, требуется гораздо меньше памяти, чем для хранения всего файла). Добавляя в формулы, задающие фрактал, случайные возмущения, можно получить стохастические фракталы, которые весьма правдоподобно передают некоторые реальные объекты – элементы рельефа, поверхность водоемов, некоторые растения, что с успехом применяется в физике, географии и компьютерной графике для достижения большего сходства моделируемых предметов с настоящими. В радиоэлектронике в последнее десятилетие начали выпускать антенны, имеющие фрактальную форму. Занимая мало места, они обеспечивают вполне качественный прием сигнала. Экономисты используют фракталы для описания кривых колебания курсов валют (это свойство было открыто Мандельбротом более 30 лет назад). На этом мы завершим эту небольшую экскурсию в удивительный по красоте и разнообразию мир фракталов.

Материалы:
www.lib.prometey.org
и вики



И на десерт - видео фракталов от Рены Джонс (Rena Jones). Если можете не думать о формулах - просто любуйтесь!

Rena Jones - Open Me Slowly 3D Fractal Video from Kris Northern on Vimeo.

@темы: видео, графика, art, математика